BAB I
STRUKTUR KRISTAL
1.1 . Pendahuluan
Suatu padatan dapat berupa kristal atau amorf. Berupa kristal jika atom-atom tersususun sedemikian rupa sehingga posisinya periodik, sedangkan amorf jika atom-atom tersusun secara tidak periodic. Sebagai ilustrasi untuk mengetahui susunan kristal dan amorf adalah sebagai berikut:
> > > > > > > > > > > >
> > > > > > > > > > >>
> > > > > > >> > > > > >
> > > > > > > >> > > >
Gambar 1.1a. Struktur Kristal Gambar 1.1b. Struktur Amorf
1.2 . Kisi Kristal
Kisi kristal yang biasa disebut kisi dapat dikatakan sebagai abstraksi dari kristal, sehingga kisi merupakan pola dasar atau pola geometri dari kristal, ilustrasi kisi dapat digambarkan seperti gambar 1.3
• • • • •
• • • • •
• • • • •
• • • • •
• • • • •
Gambar 1.3. Kisi kristal
Titik-titik pada gambar 1.3 merupakan tempat kedudukan atom dalam suatu kristal, pada suatu kristal setiap titik tersebut dapat ditempati oleh atom yang sama atau atom berbeda, namun masing-masing posisi satu dengan yang lain tetap periodic.
Kisi ada dua kelompok: kisi Bravais dan non-Bravais. Kisi disebut kisi Bravais jika semua titik kisinya equivalen, sedangkan kisi non-Bravais jika ada beberapa titik kisi yang tidak equivalen. Gambar 1.3 merupakan ilustrasi dari kisi Bravais, sebab setiap titik pada gambar tersebut sama, sedangkan gambar 1.4 merupakan ilustrasi dari kisi non-Bravais sebab ada titk kisi yang berupa “ titik “yang bulat dan kecil.
• • • • •
• • • • •
• • • • •
• • • • •
• • • • •
Gambar 1.4. Kisi non-Bravais
1.3 . Sel Satuan
Sel satuan ditentukan oleh dua vector yang membatasinya, untuk dua demensi sel satuan merupakan luasan suatu jajaran genjang yang dibatasi oleh sisi-sisi vector dan seperti gambar 1.4
Gambar 1.4. Sel satuan yang dibatasi vector dan
Sel satuan tersebut mempunyai empat titik kisi di setiap pojoknya, tetapi masing-masing titik kisi digunakan bersama oleh empat sel terdekat. Jadi masing-masing sel satuan mempunyai satu titik kisi.
Sel satuan untuk tiga demensi dibentuk oleh vector dan seperti ditunjukkan dalam gambar 1.5 dan volume sel satuannya adalah
Gambar 1.6. Sel satuan dalam 3 demensi
1.4 . Sel kisi Primitive dan non-primitive
Sel satuan yang hanya mempunyai satu titik kisi disebut sel kisi primitive, sel tersebut mempunyai volune yang paling kecil, sedangkan sel non-primitive volumenya merupakan kelipatan dari volume sel primitive.
1.5 . Empat belas Kisi Bravais dan tujuh sistem Kristal
Ke empat belas macam kisi Bravais merupakan konsekuensi dari kondisi simetri translasi. Ke empat belas kisi Bravais dikelompokkan dalam tujuh sistem kristal, masing-masing dicirikan oleh bentuk dan simetri dari sel satuan. Sistem ini adalah Triklinik, monoklinik, orthorhombic, tetragonal, kubik, heksagonal dan trigonal(rhombohidral). Masing-masing bentuk kristal ditentukan oleh sumbu kristal dan serta sudut kristal dan seperti ditunjukkan pada gambar 1.7
Gambar 1.7. Bentuk kristal 3 dimensi
Sedangkan ke tujuh sistem kristal dan ke empat-belas kisi Bravais seperti pada table 1.1.
Tabel 1.1. Sistem kristal dan kisi Bravais
No. Sistem kristal Kisi Bravais Sumbu kristal dan sudut kristal pada konvensional sel
1. Triklinik Simple Triklinik
2. Monoklinik Simple Monoklinik
Base-centered Monoklinik
3. Orthorhombik Simple Orthorhombik
Base-centered Orthorhombik
Face-centered Orthorhombik
Body-centered Orthorhombik
4. Tetragonal Simple Tetragonal
Body-centered Tetragonal
5. Cubic Simple cubic
Face-centered cubic
Body-centered cubic
6. Trigonal Simple Trigonal
7. Hexagonal Simple Hexagonal
1.6 . Arah Kristal
Arah kristal dituliskan sebagai vector
Dengan :
dan masing-masing merupakan proyeksi vector R ke arah sumbu a, b dan c. Jika dan merupakan bilangan bulat maka notasi arah kristal tersebut adalah , sedangkan jika atau merupakan bilangan pecahan maka bilangan tersebut dikalikan dengan faktor kelipatan terkecilnya sehingga menjadi bilangan bulat semua. Jika arah proyeksi vector R ke arah sumbu a, b atau c berlawanan dengan arah a,b atau c maka arah yang berlawanan tersebut diberi simbul garis atas ( ). Beberapa contoh arah kristal diberikan seperti gambar 1.8
Gambar 1.8. Arah bidang
Ketika sel satuan mempunyai simetri rotasi sama, maka ada beberapa arah kristal yang ekivalen, contoh arah ekivalen untuk sistem kubus adalah . Semua arah yang ekivalen diberi simbul
1.7 . Bidang Kristal dan Indek Millers
Orientasi bidang pada suatu kristal ditentukan oleh indek Millers, untuk menentukan orientasi suatu bidang kristal pertama-tama menentukan perpotongan dengan sumbu a, b dan c. Misalkan perpotongan dengan masing-masing sumbunya adalah x, y dan c, dengan x = pa, y = qb dan z = rc., kemudian kita cari pasangan tiplet 1/p. 1/q dan 1/ r yang merupakan pasangan bulat. Notasi indek Millers adalah (h k l ) dengan h = 1/p atau kelipatannya ; k = 1/q atau kelipatannya dan l = 1/r atau kelipatanya. Beberapa contoh orientasi bidang kristal ditunjukkan seperti gambar 1.9
(a) (b)
Gambar 1.9 (a) Orientasi bidang (110) dan (010)
(b) Orientasi bidang ( 120) dan (210)
1.8 . Jarak Antar Bidang dari Indek Millers Sama
Notasi jarak antar bidang dari indek Millers sama adalah dhkl , rumus untuk menghitung dhkl
tergantung dari struktur kristalnya. Struktur kristal yang sisi-sisinya saling tegak lurus seperti pada gambar 1.10, maka perhitungannya adalah sebagai berikut:
Gambar 1.10. Jarak antar bidang dhkl
(1.1)
berdasarkan rumus trigonometri ada hubungan antara dan yaitu:
(1.2)
subtitusi persamaan (1.1) ke dalam persamaan (1.2) menjadi:
(1.3)
sehingga :
(1.4)
karena
maka persamaan (1.4) menjadi
(1.5)
dengan n adalah jarak antar bidang ke n.
Untuk struktur kubus panjang kisi-kisinya sama yaitu a, maka jarak antar bidang terdekatnya (n=1) adalah
(1.6)
sedangkan struktur tetragonal jarak antar bidang terdekatnya
(1.7)
1.9 . Beberapa Contoh Struktur Kristal Sederhana
Beberapa contoh struktur kristal sederhana diantaranya kristal: Sodium Chlorida, Cesium Chlorida, Hexagonal Close-Packed, Intan dan Zing Sulfida.
Struktur Sodium Chlorida (NaCl)
Struktur kristal molekul NaCl atau garam dapur berbentuk kristal kubus pusat muka (Face Centered Cubic) dan struktur kristalnya merupakan kristal ion, karena struktur kristal tersebut terdiri dari ion Na+ dan ion Cl- seperti ditunjukkan pada gambar 1.11.
Gambar 1.11. Struktur kristal NaCl adalah kubus pusat muka (a=b=c)
dengan ion Na+ dan ion Cl-
Posisi Ion Na+ berada di : 000 ; ½ ½ 0 ; ½0½ ; 0½ ½ , sedangkan ion Cl- berada di : ½ ½ ½ ; 00½ ; 0½0 ; ½ 00. Jarak antar Ion Na+ dan Cl-adalah setengah panjang kisi kubus, masing-masing Ion Na+ dikelilingi oleh enam Ion Cl- terdekat. Basis dari kristal NaCl adalah Na+ pada posisi 000 dan Cl- pada posisi ½ ½ ½ . Struktur kristal jenis NaCl ini juga dimiliki antara lain oleh molekul-molekul : LiH, MgO, MnO, AgBr, PbS, KCl, KBr.
Struktur Cesium Chlorida ( CsCl)
Struktur kristal CsCl berbentuk kubus pusat badan ( Body Centered Cubic) seperti ditunjukkan pada gambar 1.12.
Gambar 1.12. Struktur kristal CsCl dengan Ion Cs+ dan ion Cl-
Jarak antara Ion Cs+ dan ion Cl- adalah setengah diagonal kubus dan basis dari struktur kristal CsCl adalah ion Cs+ pada posisi 000 dan ion Cl- pada posisi ½ ½ ½ . Ion Cl- dikelilingi oleg delapan ion Cs=. Struktur kristal jenis CsCl dipunyai juga antara lain pada kristal BeCu, AlNi, CuZn. CuPd, AgMg, LiHg.
Struktur Hexagonal Close-Packed (HCP)
Struktur HCP mempunyai sel primitive kisi hexagonal, tetapi dengan dua basis, yaitu pada posisi 000 dan seperti ditunjukkan pada gambar 1.13. Struktur HCP ideal perbandinga kisi . Jumlah atom tetangga terdekat sebanyak 12 atom dan struktur tersebut merupakan salah satu struktur yang paling padat (sama padat dengan struktur FCC). Perbandingan volume atom dengan volume selnya (atomic fraction)= 74 %.
Gambar 1.13. Struktur HCP dengan basis pada
Posisi dan
1.10 Struktur Intan
Struktur kristal intan sama dengan struktur kristal FCC dengan 4 atom di dalamnya pada posisi , seperti ditunjukkan pada gambar 1.14
Gambar 1.14. Struktur kristal intan
Dalam satu satuan konvensional sel terdiri dari 8 atom yaitu ½ atom pada masing-masing 6 bidang muka kubus, 1/8 atom pada masing-masing 8 pojok kubus dan 4 atom di dalam kubus.
1.11 Struktur Zinc Sulfide ( ZnS)
Struktur ZnS merupakan struktur kristal ion yang bentuknya sama dengan struktur kristal intan, dimana ion Zn++ pada posisi 000, 0½ ½, ½ 0 ½ , ½ ½ 0 dan posisi dari ion S- pada posisi . Ada empat molekul ZnS per sel konvensional, Beberapa contoh struktur kristal jenis ZnS adalah CuF, SiC, CuCl, GaP, Zn Se, GaAs.
BAB II
DIFRAKSI GELOMBANG OLEH KRISTAL
2.1 Pendahuluan
Kita belajar struktur kristal melalui difraksi photon, neutron maupun electron. Difraksi tergantung dari struktur kristal dan panjang gelombangnya. Jika panjang gelombang jauh lebih besar dari pada ukuran atom atau konstata kisi kristal maka tidak akan terjadi peristiwa difraksi, tetapi akan terjadi peristiwa pemantulan. Sedangkan jika panjang gelombang mendekati atau lebih kecil ukuran atom dari kristal maka akan terjadi peristiwa difraksi. Ukuran atom adalah dalam orde Ǻ (Angstrom) maka supaya terjadi peristiwa difraksi panjang gelombangnya harus dalam orde Ǻ. Seperti disebutkan di atas bahwa ada 3 macam difraksi yaitu difraksi photon, neutron dan elektron, sehingga sebagai contoh untuk mendapatkan panjang gelombang 1 Ǻ (= 1 Ǻ) maka energi photon, neutron maupun elektron masing-masing:
Energi photon ( photon sinar-X )
Energi Neutron
Energi electron
2.2 Pembangkit Sinar-X
Sinar X adalah gelombang elektromagnetik yang mempunyai panjang gelombang dalam orde Angstrom (Ǻ), panjang gelombang tersebut sama ordenya dengan konstanta kisi kristal, sehingga sinar X sangat berguna untuk menganalisa struktur kristal.
Gambar 2.1. Pembangkit Sinar X
Skema pembangkit sinar X seperti ditunjukkan dalam gambar 2.1. Elektron diemisikan dari katode dalam tabung vakum dan dipercepat oleh beda potensial tinggi yang ditimbulkan oleh oleh anode dan katode, sehingga electron memperoleh energi kinetik. Ketika electron mengenai target, maka sinar akan di emesikan dari target tersebut. Target yang terpasang pada anode berupa logam Mo, Fe , Ni atau Cu.
Emisi radiasi sinar X mempunyai spectrum kontinu yang lebar dan spectrum diskrit secara overlap. Spektrum kontinu disebabkan emisi radiasi dari interaksi electron dengan electron luar atom-atom dalam target akibatnya gerak electron ketika menumbuk target mengalami perlambatan. Peristiwa tersebut disebut peristiwa “bremstrahlung” , sedangkan spectrum diskrit disebabkan emisi setelah atom-atom dalam target tereksitasi karena electron yang datang.
Frekuensi maksimum o dari spectrum kontinu berhubungan dengan potensial pemercepat eV = ho , sebab energi maksimum foton tidak dapat melebihi energi kinetik dari electron datang. Hubungan antara potensial dengan panjang gelombang minimum o adalah
Ǻ (2.1)
dengan V = Tegangan dalam kilovolt.
Ketika sinar X melewati medium material, maka sebagian sinarX tersebut diserap oleh material. Intensitas dari sinar akan berkurang sesuai dengan formula :
(2.2)
dengan I0 adalah intensial awal pada permukaan medium, x jarak lintasan sinar dan merupakan koefiisien serapan. Berkurangnya intensitas seperti dalam persamaan (2.2) disebabkan karena peristiwa hamburan dan serapan sinar oleh atom medium.
2.3. Hukum Bragg
Ketika sinar X monokromatik datang pada permukaan kristal, sinar tersebut akan dipantulkan. Akan tetapi pemantulan terjadi hanya ketika sudut datang mempunyai harga tertentu. Besarnya sudut datang tersebut tergantung dari panjang gelombang dan konstanta kisi kristal. Sehingga peristiwa tersebut dapat digunakan sebagai salah satu model untuk menjelaskan pemantulan dan interferensi. Model tersebut ditunjukkan dalam gambar 2.2, ketika kristal digambarkan sebagai bidang parallel sesuai dengan bidang orientasi atomnya. Sinar datang dipantulkan sebagian pada masing-masing bidangnya, dimana bidang tersebut berfungsi seolah-olah sebagai cermin, dan pantulan sinar-sinar kemudian terkumpul pada detector. Karena kumpulan pantulan sinar - sinar tersebut merupakan sinar-sinar yang koheren dan ada selisih lintasan dari masing-masing pantulan bidang kristal maka akan terjadi peristiwa interferensi ketika diterima oleh detector.
Gambar 2.2. Pantulan sinar X pada bidang kristal
Interferensi kontruktif terjadi jika selisih lintasan antara dua sinar berturutan merupakan kelipatan dari panjang gelombangnya (). Berdasarkan gambar 2.2 jarak selisih lintasan sinar pantul 1 dan 2 adalah (2.3)
dengan dan (2.4)
dengan d merupakan jarak antara 2 bidang pantul yang berdekatan dan sudut antara sinar datang dan bidang pantul.Substitusi persamaan (2.4) dalam persamaan (2.3) didapatkan
(2.5)
sehingga interferensi konstruktif terjadi jika
(2.6)
dengan n = 1,2,3,…. berturut-turut menujukkan oder pertama, ke dua, ke tiga dst. Persamaan (2.6) pada umumnya disebut sebagai hukum Bragg untuk mempelajari struktur kristal.
Jika panjang gelombang sinar-X () dapat ditentukan dari macam target tabung generator sinar-x dan dapat diukur dari percobaan ( sudut merupaka setengah sudut antara sinar datang dan sinar difraksi). Menurut persamaan (2.6) peristiwa difraksi terjadi apabila <2d, sehingga untuk gelombang optik tidak dapat digunakan .
2.4. Hamburan (Scattering) dari suatu Atom
Beberapa atom dikelilingi oleh elektron-elektron yang mengalami percepatan karena pengaruh medan magnet yang berhubungan dengan sinar-X yang menumbuknya. Jika suatu muatan dipercepat memancarkan radiasi, demikian juga untuk elekton-elekton atom. Akibat dari electron-elektron menyerap energy dari sinar-X, dan menghambur kesegala arah. Tetapi elektron-elektron membentuk awan muatan (charge cloud) disekeliling atom, sehingga ketika kita menganggap hamburan dari atom, kita harus memperhitungkan perbedaan fase sinar-sinar hamburan dari tempat yang berbeda-beda disekitar awan muatan. Jika hamburan dari sebuah atom seperti ditunjukkan dalam gambar 2.3.
Gambar 2.3. Hamburan dari sebuah elektron
Jika suatu medan gelombang datar pada sebuah electron diberikan sebagai :
(2.7)
dengan: A = amplitudo, = vector gelombang ( ko= 2/) dan = frekuensi anguler. Medan hamburan mengeluarkan gelombang sferis yang dituliskan sebagai:
(2.8)
dengan fe adalah suatu parameter yang diketahui sebagai panjang hamburan (scattering length) dari electron, dan D adalah jarak radial dari electron ke titik dimana medan di evaluasi. Besarnya k adalah angka gelombang dari gelombang terhambur. Dan mempunyai besar sama dengan k0. Sebagai catatan bahwa amplitudo dari gelomabng hambur berkurang dengan seperjarak ( 1/D), hal tersebut merupakan bagian dari sifat gelombang sferis.
Andaikan gelombang datang berinteraksi dengan dua eelektron seperti ditunjukkan pada gambar 2.4 dalam hal ini, ke dua electron memancarkan gelombang sferis, dan medan hambur yang diamati pada suatu jarak tertentu adalah merupakan penjumlahan dari dua medan, dimana perbedaan fasenya harus turut dihitung, sehingga secara matematis dapat ditulis sebagai:
(2.9)
dengan merupakan beda fase antara gelombang dari elektron 1 dan electron 2.
Gambar 2.4. Hamburan dari 2 elektron
Dari gambar 2.4 ketinggalan fase () gelombang dari electron 1 terhadap electron 2 dapat ditulis
(2.10)
dengan merupakan jari=jari vector electron 2 relatif terhadap electron 1, dan berturut –turut merupakan unit vector arah sinar datang dan sinar hambur, ekspresi untuk dapat ditulis dalam bentuk
(2.11)
dimana vector hamburan (scattering vector) didefinisikan sebagai:
(2.12)
Seperti ditunjukkan dalam gambar 2.5 , besarnya vector hamburan diberikan oleh
(2.13)
dimana adalah setengah sudut hamburan (scattering angle).
Gambar 2.5. Vektor hambur
Jika persamaan (2.11) di substitusikan ke persamaan (2.9), maka didapatkan
(2.14)
di dalam penurunan persamaan tersebut, kita telah memilih pusat koordinat di electron 1. Tetapi untuk lebih sesuai kita pilih pusat disembarang titik. Sehingga untuk hamburan dari 2 elektron medan hambur dapat ditulis sebagai :
(2.15)
dimana dan merupakan vector posisi dari dua electron terhadap titik pusat yang baru. Persamaan (2.14) merupakan hal khusus dari persamaan (2.15), dimana dalam hal ini pusat dipilih posisi electron 1. Persamaan umum untuk N electron hambur adalah
(2.16)
dengan adalah posisi dari electron ke l, Analogi dengan hal ini untuk elekron tunggal pada persamaan (2.8) , panjang hambur (scattering length) untuk sistem itu adalah
(2.17)
Total panjang hambur adalah jumlah dari masing-masing panjang dengan phase telah masuk dalam perhitungan. Intensitas (I) dari sinar hambur adalah proporsional dengan kudrat dari besarnya medan, sehingga
(2.18)
hasil persamaan-persamaan (2.17) dan (2.18) adalah persamaan dasar dalamperlakuan hamburan dan proses difraksi.
Persamaan intensitas dalam persamaan (2.18 ) merupakan intensitas hasil interferensi antara beberapa sinar hambur yang koheren, apabila sinar-sinar hambur tersebut tidak koheren, maka tidak akan terjadi interfensi, sehingga Intensitas totalnya
(2.19)
dengan N merupakan jumlah hamburan.
Panjang hambur electron telah dikenal dengan baik dandapat ditemukan dalam buku elektromagnit yaitu:
(2.20)
dengan re disebut jari-jari klasik(classical radius)electron, dan mempunyai harga sekitar 10-15 m.
Kita sekarang dapat menerapkan hasil itu ke dalam aton bebas tunggal. Dalam usaha untuk menerapkan persamaan (2.17), dimana jumlah dari semua electron yang tampak, kita mencatat bahwa electron tidak mempunyai posisi diskrit, tetapi menyebar sebagai muatan awan continu ke seluruh muatan atom. Sehingga perlu dikonversi dari bentuk diskrit ke bentuk kontinu, yaitu dengan mengubah ke bentuk :
(2.21)
dimana (r) merupakan kerapatan awan muatan (dalam elektron per volume) dan integral meliputi semua volume atom. Faktor hambur atom (the atomic scattering factor) fa didefinisikan sebagai integral yang diekspresikan dalam bentuk
(2.22)
fa merupakan besaran tanpa satuan. Integral tersebut dapat merupakan persamaan yang lebih simple jika kerapatan (r) simetri bola, dan persamaan (2.22) menjadi
(2.23)
dengan R adalah jari-jari atom, Seperti dilihat dalam persamaan (2.23) faktor hambur fa tergantung dari sudut hambur ( ), dan hal itu datang dari adanya faktor osilasi dalam integral. Panjang gelombang osilasi adalah berbanding terbalik dengan s seperti ditunjukkan dalam gambar (2.6). Kita dapat melihat bahwa sudut hambur 2 bertambah, sehingga vector hambur s bertambah pula dan hasinya adalah berkurangnya faktor hambur fa.
Gambar 2.6. Faktor osilasi
2.5. Hamburan dari Kristal
Tujuan dalam subbab ini untuk menginvestigasi hamburan dari kristal, dan kita akan melanjutkan persamaan (2.17) untuk keadaan ini. Analog dengan pembicaraan hamburan satu atom, kita definisikan faktor hambur kristal (crystal scattering factor ) fcr sebagai berikut
(2.24)
penjumlahan dalam hal ini merupakan pada penjumlahan ke seluruh elektron dalam kristal, kita mungkin membagi persamaan (2.24) menjadi 2 bagian : pertama kita menjumlah ke seluruh elektron dalam atom tunggal dan jumlah keseluruh atom dalam kisi. Jika penjumlahan yang pertama menunjukkan faktor hambur atom, maka persamaan (2.24) menjadi bentuk
(2.25)
dengan Rl adalah posisi atom ke l dan fat berhubungan dengan faktor atom.
2.6. Struktur Faktor Kisi
Struktur faktor kisi S didefinisikan sebagai penjumlahan keseluruhan dari semua sel satuan, yang dituliskan secara matematika dalam bentuk
(2.26)
dengan merupakan posisi dari sel ke l . Hal ini sangat penting dalam membahas tentang hamburan sinar-X. Marilah kita selidiki ketergantungan S pada vector hambur s .
Kita mulai dengan situasi yang sangat sederhana, suatu hamburan sinar-X satu kisi monoatomik satu demensi, seperti ditunjukkan dalam gambar 2.7.
Gambar 2.7. Hamburan dari kisi satu dimensi
Jika kita misalkan vector basis dari kisi adalah , maka struktur faktornya menjadi
(2.27)
dimana kita menggantikan dan N merupakan jumlah total atom. Dengan penjabaran secara matematika persamaan (2.27) dapat ditulis sebagai
(2.28)
Pembahasan dalam fisika, kita memilih mengevaluasi S2 dari pada S, sebab S2 merupakan kuantitas dari intensitas yang diberikan oleh persamaan
(2.29)
S2 dalam persamaan (2.29) merupakan perbandingan dari dua fungsi osilasi yang mempunyai periodisitas , karena N sangat besar maka osilasi pembilang lebih cepat dibandingkan pada penyebut. Pada keadaan khusus baik pembilang dan penyebut hilang bersamaan, tetapi harga limit dari S2 = N2 yang merupakan nilai yang sangat besar. Nilai itu mirip dengan harga S2 pada yaitu S2 = N2. sehingga S2 merupakan suatu fungsi periodic seperti yang ditunjukkan dalam gambar 2.8
Gambar 2.8. Difraksi maksimum
Pada gambar 2.8 terdapat 2 maksimum yaitu pada dan . Dari perhitungan menunjukkan bahwa ketika jumlah sel sangat besar, puncak-puncak kecil dapat diabaikan terhadap puncak primer ( puncak yang paling tinggi), sebagai contoh puncak yang paling tinggi dari puncak-puncak kecil hanya 0,04 puncak yang primer. Dan kita ambil fungsi S2 tidak berharga nol jika pada puncak primer. Lebih jauh dapat juga ditunjukkan bahwa bahwa lebar dari masing-masing puncak primer maksimum berkurang dengan cepat ketika N bertambah. Dan lebar puncak lenyap ketika limit N . Sehingga S2 tidak lenyap hanya jika , 2 Sebab S2 periodik dengan periodisitas 2, juga terbatas pada semua harga
, dengan h = bilangan asli (0,1,2,3,… ) (2.30)
Pada harga tersebut S2 sama dengan N2 atau S=N.
Persamaan (2.29)menentukan semua arah yang mana S tidak mempunyai harga nol dan arah disini adalah dimana difraksi terjadi. Dari persamaan (2.12) dan memperhatikan gambar 2.7 didapatkan
(2.31)
Yang mana beda fase diantara dua sinar hambur berurutan, sehingga persamaan (2.30) adalah kondisi untuk interferensi konstruktif(penguatan)
Untuk harga tertentu dari h, persamaan (2.30) kenyataannya tidak menentukan arah tunggal, tetapi arah yang tak berhingga membentuk suatu kerucut yang axisnya terletak sepanjang garis kisi. Untuk melihat hal itu kita dapat menulis persamaan (2.30) menjadi
(2.32)
dimana 0 adalah sudut antara sinar datang dan garis kisi dan berhubungan dengan sudut sinar terdifraksi. Difraksi kerucut berhubungan dengan beberapa harga h seperti ditunjukkan pada gamabr 2.9
Gambar 2.9. Difraksi kerucut untuk order pertama h = 0 dan order ke dua h = 1
Jika ditinjau vektor kisi dalam 3 dimensi maka struktur faktor dalam persamaan (2.26) menjadi
(2.33)
dengan dan merupakan vector basis, dan penjumlahan rangkap tiga merupakan penjumlahan semua sel dalam kristal. Kita dapat memisah penjumlahan tersebut dalam 3 bagian penjumlahan
(2.34)
Kondisi untuk interferensi konstruktif adalah masing-masing dari tiga faktor tersebut masing-masing harus terbatas. Itu berarti bahwa s harus memenuhi ketiga persamaan di bawah
(2.35)
dengan h,k dan l merupakan set bilangan bulat. Penulisan dalam bentuk sudut yang dibentuk oleh s dengan vector basis, dengan menganalogikan dengan persamaan (2.32), persamaan (2.35 menjadi
(3.36)
dengan dan adalah sudut yang dibentuk antara sinar datang dengan vekktor basis, sementara dan berhubungan dengan sinar difraksi. Persamaan (2.35) dan (2.36) dikenal sebagai persamaan Laue (nama orang yang menemukan persamaan tersebut).
2.7. Kisi Resiprokal dan Difraksi Sinar-X
Mulai dengan kisi yang mempunyai vector basis dan , kita dapat mendifinisikan suatu himpunan baru dari vector basis yaitu dan yang memenuhi persamaan
(2.37)
dengan merupakan volume sel satuan. Kita sekarang dapat menggunakan vector dan sebagai basis dari kisi baru yang vektornya diberikan sebagai
(2.38)
dengan dan merupakan himpunan bilangan bulat. Kisi baru tersebut disebut sebagai kisi resiprokal, dan dan disebut sebagai vector basis resiprokal.
Hubungan antara vector basis resiprokal dan dengan dan ditunjukkan pada gambar (2.10)
Gambar 2.10. Vektor basis resiprokal
Vektor merupakan normal dari bidang yang dibentuk oleh vector dan , demikian juga untuk merupakan normal dari bidang yang dibentuk oleh vector dan ,serta merupakan normal dari bidang yang dibentuk oleh vector dan . Jika vector basis dan membentuk set orthogonal, maka dan juga orthogonal, dengan sejajar dengan , sejajar dengan , demikian juga sejajar dengan .
Hubungan matematika berikut adalah berguna dalam hubungan dengan kisi resiprokal
(2.39)
baris pertama pada persamaan (2.39), sebagai contoh, dapat dibuktikan sebagai berikut: Untuk membuktikan , kita mensubstitusikan persamaan baris pertama persamaan (2.37) ke dalam persamaan tersebut, sehingga ditemukan , Ke dua persamaan berikutnya yaitu , untuk membuktikan persaan tersebut kita tahu bahwa Vektor adalah tegak lurus bidang yang dibentuk oleh vector dan , sehingga dot product antara vector dengan maupun sama dengan nol.
Contoh kisi reciprocal ditunjukkan pada gambar 2.11, gambar 2.11a menunjukkan suatu kisi satu demensi dan resiprokalnya. Catatan bahwa dalam hal ini adalah sejajar dan , gambar 2.11b menunjukkan bidang kisi tegaklurus dan resiprokalnya, contoh 3 dimensi adalah lebih komplek, tetapi prosedur untuk menentukan dan adalah sesuai dengan persamaan (2.37), sebagai contoh bahwa kisi suatu kubus sederhana a maka kisi reciprocal untuk kubus sederhana adalah
(2.40)
dengan persamaan (2.37) kita dapat menentukan bahwa resiprokal dari BCC adalah merupakan kisi dari FCC, atau sebaliknya.. Kita dapat menentukan bahwa antara kisi dan kisi resiprokalnya selalu sama dengan system kristalnya, sehingga resiprokal untuk kisi monoklinik, triklinik, orthorhombic, tetragonal, kubik, trigonal dan hexagonal adalah juga monoklinik, triklinik, orthorhombic, tetragonal, kubik, trigonal dan hexagonal.
Gambar 2.11a. Kisi dan kisi resiprokal untuk kisi kristal satu demensi
Gambar 2.11b. Kisi resiprokal untuk kisi dua demensi
Sel satuan resiprokal dipilih dalam suatu cara khusus, misalkan pada kisi persegi panjang seperti pada gambar 2.12 dipilih titik O sebagai pusat dan gambar vector-vektor kisi dengan cara menghubungkan setiap titik kisi tetangga ke titik pusat, kemudian gambar garis tegak lurus pada setiap vector kisi dari titik tengahnya. Luasan terkecil yang dibatasi garis-garis tersebut yang berupa luiasan persegi panjang A adalah sel satuan resiprokal dan biasa disebut daerah Brillouin pertama. Daerah Brillouin(BZ) adalah suatu sel satuan yang diterima, sebab hal itu memenuhi semua persyaratan penting.Itu juga mempunyai sifat yang berhubungan dengan titik-titik kisi tepat pada pusat sel tidak seperti halnya dalam kisi.yang titik-titik kisinya terletak pada pojok sel. Jika daerah Brillouin pertama sekarang ditranslasikan oleh semua vector resiprokal Gn maka seluruh ruang kisi resiprokal tertutup.
Daerah Brillouin untuk kisi 3-demensi dapat dikontruksikan mirip pada 2-demensi, tetapi catatan bahwa dalam hal ini vector resiprokal kisi dibagi dua oleh bidang tegak lurus, dan BZ pertama sekarang merupakan volume terkecil tertutup bidang-bidang tegak lurus tersebut. Dalam hal paling sederhana yaitu pada kisi kubus sederhana, dibawah ini adalah daerah Brillouin pertama untuk kubus sederhana, kubus pusat badan dan kubus pusat muka.
Daerah Brillouin pertama untuk kubus sederhana :
Jika vektor basis primitive dari kisi kubus sederhana dinyatakan dalam dan , dengan dan adalah vector satuan panjang dan satu sama lain adalah orthogonal, maka volume dari sel tersebut adalah . Vektor basis primitif resiprokal ditentukan seperti pada persamaan (2.40) yaitu :
; dan (2.41)
disini kisi resiprokal merupakan kisi kubus sederhana pula dan konstanta kisinya 2/a.
Perbatasan dari daerah-daerah Brillouin I adalah normal bidang pada tengah-tengah enam vector resiprokal :
; dan (2.42)
Enam bidang membatasi kubus dengan rusuk 2/a dan volume (2/a)3, kubus tersebut merupakan daerah Brillouin I kisi kristal kubus sederhana.
Daerah Brillouin pertama untuk kubus pusat badan :
Vektor basis primitive dari kisi kubus pusat badan seperti pada gambar 2.12 dapat dinyatakan dalam :
; dan (2.43)
dengan a merupakan rusuk dari kubus konvensional dan adalah satuan vector yang saling tegak lurus (orthogonal) dan masing-masing satuan vector parallel dengan rusuk kubus.
Gambar 2.12. Vektor basis primitive kubus pusat badan
Volume sel primitivenya adalah
(2.44)
Vektor basis primitive resiprokal dapat ditentukan menggunakan persamaan (2.37) :
; ; (2.45)
persamaan 2.45 merupakan vector primitive dari kisi kubus pusat muka, sehingga suatu kisi kubus pusat muka juga merupakan kisi resiprokal kisi kubus pusat badan.
Secara umum vector kisi resiprokal adalah:
(2.46)
G paling pendek adalah meliputi 12 vektor, dimana semua pilihan tanda adalah independent :
; ; (2.47)
Sel primitive kisi resiprokal adalah parallelepiped yang digambarkan oleh . Volume sel tersebut dalam ruang resiprokal adalah
(2.48)
Sel tersebut terdiri satu titik kisi resiprokal , sebab masing-masing kedelapan titik pojok dibagi antara delapan parallelepiped. Masing-masing parallelepiped terdiri seperdelapan dari masing-masing kedelapan titik pojok.
Di dalam fisika zat padat kita mengambil sel pusat kisi resiprokal sebagai daerah Brillouin I. Masing-masing sel terdiri satu titik kisi pada pusat titik dari sel tersebut. Daerah tersebut (untuk kisi kubus pusat badan) dibatasi oleh normal bidang ke 12 vektor persamaan (2.47) pada titik tengahnya. Daerah Brillouin I seperti ditunjukkan pada gambar 2.14 . Vektor dari titik origin ke pusat masing-masing muka adalah
; ; (2.49)
Semua pilihan tanda adalah independen, memberikan 12 vektor.
Gambar 2.14. Daerah Brillouin I kubus pusat badan
Daerah Brillouin pertama untuk kubus pusat muka :
Vektor basis primitif dari kisi kubus pusat muka seperti pada gambar 2.15 dapat dinyatakan dalam :
; dan (2.50)
Gambar 2.15. Vektor basis primitif kubus pusat muka
Volume sel primitifnya :
(2.51)
Vektor basis primitif resiprokal dari kubus pusat muka dapat ditentukan menggunakan persamaan (2.37) yaitu :
; ; (2.52)
persamaan 2.52 merupakan vektor primitif kubus pusat badan, sehingga kisi kubus pusat badan adalah resiprokal dari kisi kubus pusat muka. Volume sel primitive dari kisi resiprokal adalah . Daerah Brillouin I dibatasi oleh normal bidang ke 8 vektor pada titik tengahnya. Daerah Brillouin I seperti ditunjukkan pada gambar 2.16
Gambar 2.16. Daerah Brillouin I kubus pusat muka
www.lpp.uns.ac.id/web/moodle/moodledata/57/Fisika_Zat_Padat_Bab_1_2.Doc -
Tidak ada komentar:
Posting Komentar